Родился на хуторе Потьминский Балашовского уезда в бедной крестьянской семье. Батрачил у помещика. В ноябре 1914 г. был мобилизован на службу во флот. В ноябре 1915 г. А.А. Кулакова перевели кочегаром на крейсер «Аврора». 3 апреля 1917 г. в составе отряда моряков встречал В.И. Ленина на Финляндском вокзале, обеспечивая его охрану. Летом 1917 г. его избрали членом судового комитета крейсера, участвовал в подготовке вооружённого восстания в Петрограде. А.А. Кулаков неоднократно встречался и выполнял задания П.Е. Дыбенко и Н.В. Крыленко. 25 октября (7 ноября) 1917 г. А.А. Кулаков дежурил на «Авроре», когда она произвела орудийный выстрел, послуживший сигналом к штурму Зимнего дворца. После Октябрьской революции 1917 г. участвовал в боях по защите Петрограда, в освобождении из тюрем заключенных, производил аресты бывших чиновников и генералов. Участвовал в Гражданской войне до её окончания. После демобилизации из Красной Армии – вернулся в деревню Потьму, где участвовал в создании колхоза и несколько лет работал его председателем. Позднее переехал в Ртищево, где работал в разных организациях. 12 октября 1967 г. ему первому было присвоено вновь учреждённое звание «Почётный гражданин города Ртищево».